Описание библиотеки математических моделей элементов, используемых для моделирования поведения трехмерных механических систем

При математическом моделировании динамики пространственных механических систем в качестве фазовых переменных, характеризующих их состояние, принято использовать следующие.
  1. Vx, Vy, Vz - линейные скорости центра масс тела в направлении осей глобальной (неподвижной) декартовой системы координат (ГСК).
  2. Wx, Wy, Wz - угловые скорости вращения тела вокруг осей ГСК.
  3. Fx, Fy, Fz - силы, приложенные к центру масс в ГСК.
  4. Mx, My, Mz - моменты сил в ГСК.
  5. x, y, z - координаты центра масс тела в ГСК.
  6. q0, q1, q2, q3 - параметры Эйлера (нормированные кватернионы), описывающие угловую ориентацию тела.
Подробно методология моделирования трехмерных механических систем с помощью универсальных программных комплексов анализа, подобных комплексу ПА-8, описана в статье.

Математическая модель твердого тела

Прототип описания тела:
part Vx Vy Vz Wx Wy Wz x y z q0 q1 g2 q3=\
m,Jx,Jy,Jz,Vx0,Vy0,Vz0,Wx0,Wy0,Wz0,\
x0,y0,z0,ksi,theta,phi;
Параметры модели.
m - масса тела [кг].
Jx, Jy, Jz - центральные моменты инерции тела [кг*м2].
Vx0, Vy0, Vz0 - начальные значения линейных скоростей центра масс тела в ГСК [м/с].
Wx0, Wy0, Wz0 - начальные значения угловых скоростей тела в ГСК [рад/с].
x0, y0, z0 - начальные значения координат центра масс тела в ГСК [м].
ksi, theta, phi - начальные значения углов Эйлера для тела [рад].

Для удобства пользователя начальная угловая ориентация тела задается не в параметрах, а в углах Эйлера. В данном руководстве углами Эйлера называются три угла ksi, theta, phi, используемые для перевода локальной системы координат тела (ЛСК) из положения, совпадающего с ГСК, в требуемое положение последовательностью трех поворотов. Первый поворот осуществляется вокруг оси z (по часовой стрелке) на угол ksi, второй - вокруг нового положения оси x на угол theta, третий - вокруг последнего положения оси z на угол phi. Подробнее см. на ru.wikipedia.org и более содержательно на en.wikipedia.org.
Параметры из конца списка параметров, обладающие нулевым значением, в описании тела не являются обязательными.
Внимание! Данная математическая модель не отображает гироэффект.

Математическая модель твердого тела,
отображающая гироэффект

Прототип описания тела:
gyro Vx Vy Vz Wx Wy Wz x y z q0 q1 g2 q3=\
m,Jx,Jy,Jz,Vx0,Vy0,Vz0,Wx0,Wy0,Wz0,\
x0,y0,z0,ksi,theta,phi;
Параметры модели.
m - масса тела [кг].
Jx, Jy, Jz - центральные моменты инерции тела [кг*м2].
Vx0, Vy0, Vz0 - начальные значения линейных скоростей центра масс тела в ГСК [м/с].
Wx0, Wy0, Wz0 - начальные значения угловых скоростей тела в ГСК [рад/с].
x0, y0, z0 - начальные значения координат центра масс тела в ГСК [м].
ksi, theta, phi - начальные значения углов Эйлера для тела [рад].

Для удобства пользователя начальная угловая ориентация тела задается не в параметрах, а в углах Эйлера. В данном руководстве углами Эйлера называются три угла ksi, theta, phi, используемые для перевода локальной системы координат тела (ЛСК) из положения, совпадающего с ГСК, в требуемое положение последовательностью трех поворотов. Первый поворот осуществляется вокруг оси z (по часовой стрелке) на угол ksi, второй - вокруг нового положения оси x на угол theta, третий - вокруг последнего положения оси z на угол phi. Подробнее см. на ru.wikipedia.org и более содержательно на en.wikipedia.org.
Параметры из конца списка параметров, обладающие нулевым значением, в описании тела не являются обязательными.

Математическая модель сферического шарнира.
Ограничения по линейным скоростям

Данная модель описывает поведение идеального подвижного сферического шарнира, связывающего два твердых тела. Используемое кинематическое ограничение - равенство линейных скоростей точек двух тел, объединяемых шарниром.
Прототип описания шарнира:
sphj Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x0,y0,z0;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x0, y0, z0 - начальные значения координат шарнира в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать начальное положение шарнира в ЛСК первого тела, для этого используется строковый параметр "l" (от local).

Математическая модель сферического шарнира.
Ограничения по линейным перемещениям

Данная модель описывает поведение идеального подвижного сферического шарнира, связывающего два твердых тела. Используемое кинематическое ограничение - равенство координат точек двух тел, объединяемых шарниром.
Прототип описания шарнира:
spmj Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x0,y0,z0;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x0, y0, z0 - начальные значения координат шарнира в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать начальное положение шарнира в ЛСК первого тела, для этого используется строковый параметр "l" (от local).

Математическая модель упругого сферического шарнира

Данная модель описывает поведение идеального подвижного упругого сферического шарнира, связывающего два твердых тела.
Прототип описания шарнира:
splj Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
k,x0,y0,z0;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
k - жесткость шарнира [Н/м] (одинаковая по всем направлениям).
x0, y0, z0 - начальные значения координат шарнира в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать начальное положение шарнира в ЛСК первого тела, для этого используется строковый параметр "l" (от local).

Математическая модель карданного шарнира.

Данная модель описывает поведение идеального подвижного карданного шарнира, связывающего два твердых тела.
Прототип описания шарнира:
cardj Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x0,y0,z0,\
ksi10,theta10,phi10,\
ksi20,theta20,phi20;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x0, y0, z0 - начальные значения координат центра крестовины в ГСК [м].
ksi10, theta10, phi10 - начальные значения углов Эйлера оси крестовины, связанной с первым телом [рад].
ksi20, theta20, phi20 - начальные значения углов Эйлера оси крестовины, связанной со вторым телом [рад].

Математическая модель вращательного шарнира

Данная модель описывает поведение идеального вращательного шарнира, связывающего два твердых тела.
Прототип описания шарнира:
revj#g2 Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x10,y10,z10,x20,y20,z20;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x10, y10, z10 - начальные значения координат шарнира в ГСК [м].
x20, y20, z20 - начальные значения координат любой точки на оси шарнира в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать угловую ориентацию оси шарнира тремя углами Эйлера для оси z (строковый параметр "g" или "ge"). Допустимо также использование ЛСК первого тела ("l" или "l2" и "le").

Математическая модель цилиндрической направляющей

Данная модель описывает поведение идеальной цилиндрической направляющей, связывающей два твердых тела.
Прототип описания направляющей:
cylj#g2 Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x10,y10,z10,x20,y20,z20;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x10, y10, z10 - начальные значения координат любой точки на оси направляющей в ГСК [м].
x20, y20, z20 - начальные значения координат любой другой точки на оси направляющей в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать угловую ориентацию оси направляющей тремя углами Эйлера для оси z (строковый параметр "g" или "ge"). Допустимо также использование ЛСК первого тела ("l" или "l2" и "le").

Математическая модель призматической направляющей

Данная модель описывает поведение идеальной призматической направляющей, связывающей два твердых тела.
Прототип описания направляющей:
traj#g2 Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x10,y10,z10,x20,y20,z20;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x10, y10, z10 - начальные значения координат любой точки на оси направляющей в ГСК [м].
x20, y20, z20 - начальные значения координат любой другой точки на оси направляющей в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать угловую ориентацию оси направляющей только тремя углами Эйлера для оси z (строковый параметр "g" или "ge"). Допустимо также использование ЛСК первого тела ("l" или "l2" и "le").

Математическая модель планарной связи

Данная модель описывает поведение идеальной подвижной планарной связи двух твердых тел.
Прототип описания связи:
plaj#g3 Vx1 Vy1 Vz1 Wx1 Wy1 Wz1 x1 y1 z1 q01 q11 g21 q31 \
Vx2 Vy2 Vz2 Wx2 Wy2 Wz2 x2 y2 z2 q02 q12 g22 q32=\
x10,y10,z10,x20,y20,z20,\
x30,y30,z30;
Vx1, Vy1, Vz1, Wx1, Wy1, Wz1, x1, y1, z1, q01, q11, g21, q31 - имена узлов схемы, к которым подключено первое тело.
Vx2, Vy2, Vz2, Wx2, Wy2, Wz2, x2, y2, z2, q02, q12, g22, q32 - имена узлов схемы, к которым подключено второе тело.
Параметры модели.
x10, y10, z10, x20, y20, z20, x30, y30, z30 - начальные значения координат любых трех точек плоскости в ГСК [м].
Примечание. Есть возможность задать угловую ориентацию плоскости только тремя углами Эйлера для перпендикуляра к ней (строковый параметр "g" или "ge"). Допустимо также использование ЛСК первого тела ("l3" и "l" или "le").